(x+y+3)(x+y-3) の展開

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式の一部を置き換える数式の展開を行ってみます。例題と解法は次の通りです。

問題: 次の数式を解きなさい.

$$(x+y+3)(x+y-3) = ?$$

解くための材料:
共通部分を置き換える

解法

\(x+y=A とおくと、\)
\((x+y+3)(x+y-3) = (A+3)(A-3)\)

\((a+b)(a-b) = a^2-b^2 なので\)
\(=A^2-3^2\)

\(A を x+y に戻して\)
\(=(x+y)^2-9\)

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 なので\)
\(=x^2+2xy+y^2-9\)

展開のまとめ

\begin{align*}
(x+y+3)(x+y-3) & = (A+3)(A-3) \\
& = A^2-3^2 \\
& = (x+y)^2-9 \\
& = x^2+2xy+y^2-9 \\
\end{align*}